Сын Людмилы Касаткиной и Сергея Колосова.

Окончил журфак МГУ, параллельно учась в Гнесинке по классу классической гитары. В 1989 году защитил кандидатскую диссертацию в ГИТИСе на тему «Театрализованные формы джазовой импровизации».

В 1987 г. стал создателем и ведущим первой в Советском Союзе, а затем и на постсоветском пространстве еженедельной джазовой программы на радио «Юность» под названием «Когда не хватает джаза». С 1991 года до 2014 года она выходила на волнах Радио России.

В 1992 г. Алексеем Колосовым была создана группа «АУРА». В её репертуаре блюзовые и джазовые вокальные и инструментальные композиции, написанные им самим, а также блюзовая и джазовая классика. У группы «АУРА» вышло 4 диска «Русский блюз» (1996 г.), «Арбат-буги» (1999 г.), «Ночное шоссе» (2001 г.), «Ночное шоссе – том 2» (2006 г.).

Алексей Колосов является автором музыки к пяти художественным фильмам: «Дневник профессора Готье», «Судья в ловушке», «Игра в джин», «Последняя лента Креппа», «Потерянные в раю».

В 2000 г. вышел сборник стихов Алексея Колосова «Графический блюз», где большую часть составляют тексты блюзовых композиций.

Он также является организатором ряда крупных джазовых фестивалей: «Балтийский джаз» (2006), "Jazz Travel Poland" (2007), "Jazz Travel Finland: Classic Season" (2008), "Moscow Jazz Open" (2009-2013), "Montenegro Jazz Open" (2014), "BIG SKY" (2016-2019) и другие.

В 2012 году проект “Alex Kolosov & Big Sky” записал свой первый альбом в Норвегии на знаменитой Rainbow Studio со всемирно известным звукорежиссером Яном Эриком Конгсхаугом. Специальным гостем, принявшим участие в записи, стал великий польский скрипач Михал Урбаняк.

В 2007 году Алексей Колосов был награжден Золотым Орденом за «Служение искусству».